ادامه حل تمرین صفحه 25 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله فرض می‌کند که هر ۸ ناحیهٔ چرخنده **مساوی** هستند، بنابراین احتمال آمدن عقربه روی هر ناحیه $\mathbf{1/8}$ است. **فضای نمونه ($athbf{S}$):** $\mathbf{S = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \right\}}$. $\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 8$. --- ### الف) عقربه روی یک عدد $athbf{اول}$ بایستد (پیشامد $A$) اعداد اول در $\mathbf{S}$ عبارتند از: $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 4$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{4}{8} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$ --- ### ب) عقربه روی یک عدد $athbf{اول}$ یا $athbf{فرد}$ را نشان دهد (پیشامد $B = A \cup F$) 1. **پیشامد $athbf{A}$ (اول):** $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{A}) = 4/8$ 2. **پیشامد $athbf{F}$ (فرد):** $athbf{\left\{ 1, 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{F}) = 4/8$ 3. **اشتراک ($athbf{A} \cap athbf{F}$ - اول و فرد):** $athbf{\left\{ 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{A} \cap \mathbf{F}) = 3/8$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{F}) = \mathbf{P}(\mathbf{A}) + \mathbf{P}(\mathbf{F}) - \mathbf{P}(\mathbf{A} \cap \mathbf{F})$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{F}) = \frac{4}{8} + \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$ --- ### پ) عقربه روی یک عدد $athbf{مضرب 3}$ بایستد (پیشامد $C$) مضرب‌های $athbf{3}$ در $athbf{S}$ عبارتند از: $athbf{\left\{ 3, 6 \right\}}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 2$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{C}) = \frac{2}{8} = \mathbf{\frac{1}{4}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این یک مسئلهٔ **جایگشت** است که در آن می‌خواهیم احتمال وقوع یک حالت خاص را محاسبه کنیم. **تعریف میله‌ها و پرچم‌ها:** * $athbf{7}$ پرچم متمایز ($athbf{P}_1, \dots, \mathbf{P}_7$) * $athbf{7}$ میله متمایز با شماره ($athbf{M}_1, \dots, \mathbf{M}_7$) --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) تعداد کل حالت‌های ممکن برای قرارگیری $athbf{7}$ پرچم در $athbf{7}$ میله: $athbf{7!}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 7! = 5,040$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (پرچم‌های شماره اول در جایگاه مطابق با شماره خود باشند) **شرط:** پرچم‌ها فقط باید روی میله‌هایی با **شمارهٔ اول** قرار گیرند که با **شمارهٔ خودشان** تطابق داشته باشد. * **شماره‌های اول:** $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$ (از بین ۱ تا ۷) **تعداد اعضای پیشامد ($athbf{n}(\mathbf{A})$):** * **میله $athbf{2}$:** فقط پرچم $athbf{2}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{3}$:** فقط پرچم $athbf{3}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{5}$:** فقط پرچم $athbf{5}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{7}$:** فقط پرچم $athbf{7}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) $athbf{4}$ پرچم در $athbf{4}$ میلهٔ اول ثابت شده‌اند. $athbf{3}$ پرچم باقیمانده ($athbf{P}_1, \mathbf{P}_4, \mathbf{P}_6$) باید در $athbf{3}$ میلهٔ باقیمانده ($athbf{M}_1, \mathbf{M}_4, \mathbf{M}_6$) قرار گیرند. این یک جایگشت $athbf{3}$ شیء است. $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = (1 \times 1 \times 1 \times 1) \times 3! = 6$$ --- ### ج) محاسبه احتمال $athbf{P}(athbf{A})$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \frac{3!}{7!} = \frac{6}{5,040} = \mathbf{\frac{1}{840}}$$ **نتیجه:** احتمال اینکه پرچم‌های با شمارهٔ اول در جایگاه مطابق با شماره خود باشند، $\mathbf{1/840}$ است.

full_descriptive_answer